核心定义 方向向量是指具有确定方向但模长（长度）不固定的非零向量。它的唯一作用是标记某条直线、某个运动或物理量的 “指向”，只要两个向量方向相同（或相反），无论模长是否相等，都可作为同一方向的方向向量。 简单说：方向向量只 “管方向”，不管 “长短”，且不能是零向量（零向量无确定方向）。 关键性质 非零性（必备条件）：方向向量必须是非零向量（即分量不能全为 0），零向量无法定义方向，因此不能作为方向向量。 方向不变性（数乘特性）：若向量$$\vec{v}$$是某方向的方向向量，那么对任意非零常数$$k$$，$$k\vec{v}$$也是该方向的方向向量。$$k>0$$时方向相同，$$k<0$$时方向相反（仍对应同一直线的双向方向）。 直线的方向向量不唯一：同一条直线的方向向量有无数个，所有方向向量都互相平行（成非零常数倍关系）。例如直线的一个方向向量是$$(1, 2)$$，则$$(2, 4)$$、$$(-3, -6)$$等都是它的方向向量。 可单位化：任意非零方向向量都能通过 “除以自身模长” 转化为单位方向向量（模长 = 1），单位方向向量仍保留原方向，仅长度标准化，方便计算。 平行判定依据：两个方向向量$$\vec{v1}$$和$$\vec{v2}$$平行（即对应直线平行）的充要条件是：存在非零常数$$k$$，使得$$\vec{v1} = k\vec{v2}$$。 相等的向量方向和长度都相同 向量的运算 向量加减法则 向量减法 $$\vec{OA} - \vec{OB}$$, 可以以等价理解为$$\vec{OA} + (-\vec{OB})$$, 代数规则 对应分量相减：$$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$$ 关键规律 不满足交换律：$$\vec{a} - \vec{b} ≠ -(\vec{b} - \vec{a})$$（方向相反，模长相等） 模长关系：$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$。 $$\theta = 0^\circ（同向）：|\vec{a} - \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$$（模长最小）。 $$\theta = 180^\circ（反向）：|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$$（模长最大）。 $$\theta = 90^\circ（垂直）：|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2}$$（与和向量模长相等）。 公式各部分含义 $$|\vec{a} - \vec{b}|^2$$: 向量 $$\vec{a} 与 \vec{b}$$ 之差的模长的平方（即和向量的“长度的平方”） $$|\vec{a}|^2$$：向量 $$\vec{a}$$的模长的平方（自身长度的平方） $$\theta$$ ：向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$之间的夹角（共起点时，两向量之间的角，范围 $$0 \leq \theta \leq \pi$$） 推导过程（从向量点积展开） 根据向量模长与点积的关系：对任意向量 $$\vec{v}$$，有 $$|\vec{v}|^2$$ = $$\vec{v} \cdot \vec{v}$$（自身点积等于模长的平方）。 因此，对和向量 $$\vec{a} + \vec{b}$$，其模长的平方可展开为： $$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} \quad (\text{点积交换律：}\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}) \\ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \quad (\text{点积定义：}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta)$$ 向量的点积 向量的点积（Dot Product） 是线性代数中最基础、也最有用的运算之一，它用来衡量 两个向量的方向关系（比如是否平行、垂直、夹角大小等） $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$ 如果是三维，还要加上$$a_z b_z$$ ...