核心定义

方向向量是指具有确定方向但模长（长度）不固定的非零向量。它的唯一作用是标记某条直线、某个运动或物理量的 “指向”，只要两个向量方向相同（或相反），无论模长是否相等，都可作为同一方向的方向向量。
简单说：方向向量只 “管方向”，不管 “长短”，且不能是零向量（零向量无确定方向）。

关键性质

1. 非零性（必备条件）：方向向量必须是非零向量（即分量不能全为 0），零向量无法定义方向，因此不能作为方向向量。
2. 方向不变性（数乘特性）：若向量$$\vec{v}$$是某方向的方向向量，那么对任意非零常数$$k$$，$$k\vec{v}$$也是该方向的方向向量。$$k>0$$时方向相同，$$k<0$$时方向相反（仍对应同一直线的双向方向）。
3. 直线的方向向量不唯一：同一条直线的方向向量有无数个，所有方向向量都互相平行（成非零常数倍关系）。例如直线的一个方向向量是$$(1, 2)$$，则$$(2, 4)$$、$$(-3, -6)$$等都是它的方向向量。
4. 可单位化：任意非零方向向量都能通过 “除以自身模长” 转化为单位方向向量（模长 = 1），单位方向向量仍保留原方向，仅长度标准化，方便计算。
5. 平行判定依据：两个方向向量$$\vec{v1}$$和$$\vec{v2}$$平行（即对应直线平行）的充要条件是：存在非零常数$$k$$，使得$$\vec{v1} = k\vec{v2}$$。
6. 相等的向量方向和长度都相同

向量的运算

向量加减法则

向量减法

$$\vec{OA} - \vec{OB}$$, 可以以等价理解为$$\vec{OA} + (-\vec{OB})$$,

代数规则

对应分量相减：$$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$$

关键规律

• 不满足交换律：$$\vec{a} - \vec{b} ≠ -(\vec{b} - \vec{a})$$（方向相反，模长相等）
• 模长关系：$$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$。
• $$\theta = 0^\circ（同向）：|\vec{a} - \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$$（模长最小）。
• $$\theta = 180^\circ（反向）：|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$$（模长最大）。
• $$\theta = 90^\circ（垂直）：|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2}$$（与和向量模长相等）。
  公式各部分含义
  $$|\vec{a} - \vec{b}|^2$$: 向量 $$\vec{a} 与 \vec{b}$$ 之差的模长的平方（即和向量的“长度的平方”）
  $$|\vec{a}|^2$$：向量 $$\vec{a}$$的模长的平方（自身长度的平方）
  $$\theta$$ ：向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$之间的夹角（共起点时，两向量之间的角，范围 $$0 \leq \theta \leq \pi$$）
  推导过程（从向量点积展开） 根据向量模长与点积的关系：对任意向量 $$\vec{v}$$，有 $$|\vec{v}|^2$$ = $$\vec{v} \cdot \vec{v}$$（自身点积等于模长的平方）。 因此，对和向量 $$\vec{a} + \vec{b}$$，其模长的平方可展开为：
  $$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} \quad (\text{点积交换律：}\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}) \\ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \quad (\text{点积定义：}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta)$$

向量的点积

向量的点积（Dot Product） 是线性代数中最基础、也最有用的运算之一，它用来衡量 两个向量的方向关系（比如是否平行、垂直、夹角大小等）
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$
如果是三维，还要加上$$a_z b_z$$

几何意义

点积也可以写成$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\theta)$$, 即一个向量的模长，与另一个向量在它方向上的数量投影的乘积。

其中：

• $$|\vec{a}|$$ 是向量 a 的长度（模）
• $$|\vec{b}|$$ 是向量 b 的长度
• $$\theta$$ 是两个向量的夹角

应用

• 可以将向量的点积理解为**两个向量方向的相似程度, **两个单位向量方向和夹角的关系如下

  夹角	cos(θ)	点积的意义
  0°（同方向）	1	点积最大
  90°（垂直）		点积为 0
  180°（反方向）	-1	点积最小（负数）

• 计算两个向量之间的夹角
  $$\theta = \cos ^{-1} \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
  例题:

已知条件

向量 $$\vec{a}$$=(1, 2, 2)，向量 $$\vec{b}$$=(2, 1, -2)，求两向量的夹角 θ

• 计算向量的点积: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 2 \times -2 = 0$$
• 计算模长: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$$, $$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1 ^ 2 + (-2) ^2} = 3$$
• $$\cos\theta = \frac{0}{3} = 0$$
• $$\theta = \arccos{0} = \frac{\pi}{2} = 90\degree$$
• 向量的长度等于自身点积的平方根
  $$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

投影

向量的投影本质是: 两个非零向量, 一个向量在另一个向量方向上的 “影子”，它衡量的是一个向量在另一个向量方向上有多少成分.投影分为向量投影（有方向）和数量投影（无方向，仅数值）

几何意义

若有两个向量 a 和 b（且 b ≠ 0）：

• 你把向量 a 向 b 的方向“照射”或“投影”
• 得到一个 沿着 b 方向的向量
  可以理解成：
  👉 “a 在方向 b 上的影子”。
  

数学表达

向量投影（向量形式）

$$\text{proj}_{\mathbf{\vec{b}}}(\mathbf{\vec{a}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$$
它是一个向量（方向与 $$\vec{b}$$ 相同）。

标量投影（长度）

$$\text{comp}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

从点积视角理解

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|, |\vec{b}| \cos\theta$$
于是投影：
$$\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})| = |\vec{a}| \cos\theta$$
也就是 $$\vec{a}$$在$$\vec{b}$$方向的分量大小。

简单示例

假设$$\vec{a} = (3, 4))$$，$$\vec{b} = (4, 0))$$
$$\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{(3,4)\cdot(4,0)}{(4,0)\cdot(4,0)} (4,0) = \frac{12}{16} (4,0) = (3,0)$$
$$\vec{a}$$在 $$\vec{b}$$ 方向的投影是 (3,0)

向量单位化

将向量单位化，是指将一个非零向量转化为与其方向相同、模长（长度）为1的单位向量（也叫“标准化向量”）。单位化后的向量仅保留原向量的方向信息，长度被“归一化”为1，在方向分析、物理建模等场景中非常实用。
一、单位化的前提
只有非零向量才能单位化（零向量模长为0，除以0无意义，且零向量没有确定方向）。
二、单位化的步骤
设非零向量为 $$\vec{a}$$，单位化后的向量记为 $$\hat{a}$$，步骤如下：

1. 计算原向量的模长（长度）

向量的模长是其各分量平方和的算术平方根：

• 若 $$\vec{a}$$ 是二维向量：$$\vec{a} = (a_1, a_2)$$，模长 $$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$
• 若 $$\vec{a}$$ 是三维向量：$$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$$，模长 $$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$
• 推广到 $$n$$ 维向量：$$\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$$，模长 $$|\vec{a}| = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$$

2. 用原向量除以它的模长

单位向量 $$\hat{a}$$ 的每个分量等于原向量对应分量除以模长：
$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left( \frac{a_1}{|\vec{a}|}, \frac{a_2}{|\vec{a}|}, ..., \frac{a_n}{|\vec{a}|} \right)$$
示例

例1：二维向量单位化

已知向量$$\vec{v} = (3, 4)$$，求其单位向量 $$\hat{v}$$。

• 步骤1：计算模长 $$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$
• 步骤2：单位化 $$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{5} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$$
• 验证：$$\hat{v}$$ 的模长为 $$\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1$$，符合单位向量定义。

例2：三维向量单位化

已知向量$$\vec{w} = (1, 2, 2)$$ ，求其单位向量 $$\hat{v}$$。

• 模长 $$|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$$
• 单位化 $$\hat{w} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$

叉乘

向量的叉乘（又称向量积、外积）是三维向量特有的运算, 其结果是一个新的向量.

核心定义

对于三维空间中的两个向量 $$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$$ 和 $$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$$，它们的叉乘记为 $$\vec{a} \times \vec{b}$$（读作 “a 叉 b”），结果是一个垂直于 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 所构成平面的向量，其方向由「右手定则」判断，大小等于以 $$\vec{a}$$ $$\vec{b}$$ 为邻边的平行四边形的面积。

计算公式

分量展开式(最直观)

设：$$\vec{a} = (a_x, a_y, a_z), \vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$$
叉乘：$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x \right)$$

从几何的角度计算

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \sin\theta$$ θ是$$\vec{a}$$和 $$\vec{b}$$的夹角

行列式

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$
三维空间中，单位向量 i=(1,0,0)、j=(0,1,0)、k=(0,0,1) 分别对应 x、y、z 轴方向，它们构成了空间基向量。对第一行做余子式展开, 正好和分量展开式一样
$$i = \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} = a_y b_z - a_z b_y$$
$$j = \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} = - (a_x b_z - a_z b_x) = a_z b_x - a_x b_z$$
$$ k = \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = a_x b_y - a_y b_x$$

矩阵形式

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$$

几何意义

如果以向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。